未来技术学院 2024 级选拔考试（数学）
试卷说明
- 数学选拔考试为先阅读分析一段材料，然后根据材料现场作答，旨在选拔具有数学逻辑分析，推导，缜密论证能力的学生，本词条内容仅用于 考试形式参考；
- 未来技术学院未公开发布试卷内容，本词条内容根据往届学生考场回忆整理，与原试题可能存在偏差；
- 答题时间：90 分钟（含阅读材料时间）
阅读材料
定义 1： 设$ X $是一个集合，它的元素叫做 “点”，如果$ X $的任何两个点$ p $和$ q $对应一个实数$ d(p,q) $，则这个$ d(p,q) $可以看成是$ (p,q) $的一个函数(或映射)，如果函数 $d(p,q)$ 满足下面三个条件，则称其满足性质 D：
- 若$ p \neq q $，那么$ d(p,q)>0 $，$ d(p,q)=0 $的充分必要条件是$ p=q $
- $ d(p,q)=d(q,p) $
- 对于任意的$ x \in X $，$ d(p,q)\leq d(p,x)+d(x,q) $
定义 2： 设$ X $是全体实数，$ d(p,q) $为定义在$ X $上面满足定义 1 中的性质 D 的函数，下面提到的一切点和集合，都理解为$ X $中的点和集合
- 点$ p $的邻域，指的是满足条件$ d(p,q) < r $的一切点$ q $构成的集合，这里$ r $是实数，并且$ r>0 $。通常$ p $的邻域记成：$ N_r(p) $
- 点$ p $称作集合$ E $的内点是指：如果存在点$ p $的一个邻域$ N_r(p) $完全包含于$ E $，即$N_r(p)$满足$ N_r(p) \subset E $
- 点$ p $称作集合$ E $的极限点是指：如果点$ p $的每个邻域$ N_r(p) $都含有一点$ q \in E $，而且$ q \neq p $
- 集合$ E $称为开集是指：如果$ E $的每个点都是内点
- 集合$ E $称为闭集是指：如果$ E $的每个极限点都是$ E $中的点
定义 3： 设$ p=(x_1 , x_2 , x_3) $与$ q=(y_1 , y_2 , y_3) $是三维空间中两点，其欧式距离定义为： $$ \rho(x,y) = \sqrt{(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2 + (x_3 - y_3)^2} $$
试卷题目
一.
设$ x,y $均为实数，定义函数：
- $ d_{1}(x,y)=(x-y)^2 $
- $ d_{2}(x,y)=\lvert x^2-y^2 \rvert $
- $ d_{3}(x,y)=\lvert x-2y \rvert $
- $ d_{4}(x,y)=\lvert x-y \rvert+\lvert y \rvert $
这四个函数中，哪些满足性质 D？哪些不满足？请说明理由。
二.
设$ X $是全体实数集合，对于$ p \in X $、$ q \in X $，定义函数
$$ d(p,q) = \begin{cases} 1 & p \neq q \\ 0 & p = q \end{cases} $$
证明$ d(p,q) $满足性质 D，由此所得的$ X $中哪些子集是开集？哪些子集是闭集？
三.
1.
在二维平面里面考虑任意一个圆$ C $，对于$ x, y \in C $，定义$ d(x,y) $是过$ x,y $两点的圈上以$ x,y $为端点的劣弧的弧长，证明$ d(z,y) $满足性质 D，设$ \rho(x,y) $为按平面普通两点间距离公式计算的$ x $与$ y $之间的距离。证明
$$ \rho(x,y) \leq d(x,y) \leq \frac{\pi}{2}\rho(x,y) $$
2.
利用上述结论证明三维空间中类似的结论，即：
在三维空间里面考虑任意一个球面$ S $，对于$ x,y \in S $，定义$ d(x,y) $是过$ x,y $两点的大圆上以$ x,y $为端点的劣弧的弧长。证明$ d(x,y) $满足性质 D，设$ \rho(x,y) $为按三维空间普通两点间欧式距离公式计算的$ x $与$ y $之问的距离，证明
$$ \rho(x,y) \leq d(x,y) \leq \frac{\pi}{2}\rho(x,y) $$
注：在证明该问题结论时，需要具体计算出相关的$ \rho(x,y) $与$ d(x,y) $，或者利用平面几何与解析几何知识解答，仅用直观解释不得分。