未来技术学院 2023 级选拔模拟考试（数学）样题
考前须知
1．本试题适用范围：未来技术学院、求是数学班（数学拔尖计划）选拔考试，不适用范围：化工学院领军计划、王守融班、吴咏诗班及其他拔尖计划。
2．本试题由笔者（某学长）参考 2018、2019、2020 求是数学选拔考试试题，以及 2020、2021、2022 未来技术学院（原求是学部）选拔考试（数学部分）的回忆内容，并随机摘选大学课程内容编写而成。本试题只具有题目形式的参考意义，不代表实际考试内容和难度，也不代表未来技术学院和数学学院。请谨慎看待本试题题型、内容和难度。若有纰漏请与笔者联系，望周知。
3．根据阅读材料，完成后面的四道题，每道题建议用时 1 ~ 2 个小时。
Part I
离散时间序列为数字信号处理中常用的数学表示，其通常指一组序列$f(n)$，其中$n$为时间，$n=0$时表示时刻$0$，$n=1$时表示时刻$1$，依此类推。通常一组离散时间序列也可以称之为数字信号。这里$n\in Z$。
对于序列$f(n)$在$n$时刻的取值，我们定义为信号$f$在$n$时刻的信号强度。下面我们来看两种常见基本信号:
定义一：单位脉冲序列，即$n=0$时刻信号强度为$1$，其他时刻信号强度为$0$，可以用符号$\delta(n)$表示，其中$\delta$表示脉冲，$n$表示时刻，即 $\delta(n)=\left\{ \begin{array}{rcl} 1,&n=0\\ 0,&n\neq0 \end{array} \right. $
其函数图像如图
定义二：单位阶跃序列，即$n \geq 0$时，信号强度为$1$；$n<0$时，信号强度为0，可以用$u(n)$表示，其中$u$表示阶跃，即：
$u(n)= \left\{ \begin{array}{rcl} 1,&n\geq0\\ 0,&n<0 \end{array} \right. $
其函数图像如图：
易知，$u(k)=\sum_{i=0}^{k}\limits \delta(k-i), \delta(k)=u(k)-u(k-1) $
Part II
定义三：已知定义在$(-\infty,+\infty)$上的两个时间序列$f_{1}(k)$，$f_{2}(k)$，定义$f(k)=\sum_{i=-\infty}^{\infty}\limits f_{1}(i)f_{2}(k-i)$为$f_{1}(k)$与$f_{2}(k)$的卷积和，记为$f(k)=f_{1}(k)*f_{2}(k)$
注意：求和是在虚变量$i$下进行的，结果仍为$k$的函数。
定义四：若对时间序列$f_{1}(k)$有: 当$k<0$时，有$f_{1}(k)=0$，则称$f_{1}(k)$为因果序列。
显然，若$f_{1}(k)$为因果序列，则有$f_{1}(k)*f_{2}(k)=\sum_{i=0}^{\infty}\limits f_{1}(i)f_{2}(k-i)$; 若$f_{2}(k)$为因果序列，则有$f_{1}(k)*f_{2}(k)=\sum_{i=-\infty}^{k}\limits f_{1}(i)f_{2}(k-i)$; 如果$f_{1}(k)$和$f_{2}(k)$均为因果序列，即$f_{1}(k)=f_{2}(k)=0, k<0$，则$f_{1}(k)*f_{2}(k)=[\sum_{i=0}^{k}\limits f_{1}(i)f_{2}(k-i)]u(k)$
性质 1：任意序列$x(n)$可表示为$\delta(n)$的加权移位之线性组合,即
$$x(n)=…x(-1)\delta(n+1)+x(0)\delta(n)+x(1)\delta(n-1)+…x(m)\delta(n-m)+…=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\limits x(n)\delta(n-m)=x(n)*\delta(n)$$
性质 2（交换律）： $ x_{1}(n)*x_{2}(n)=x_{2}(n)*x_{1}(n)$
证明：$x_{1}(n)*x_{2}(n)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\limits x_{1}(m)x_{2}(n-m)$， 令$m=n-k$
$=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\limits x_{1}(n-k)_{2} (k)=x_{2}(n)*x_{1}(n)$
性质 3（结合律）：$ x_{1}(n)*[x_{2}(n) *x_{3}(n) ]=[x_{1}(n)*x_{2}(n)]*x_{3}(n) $
性质 4（分配律）：$ x_{1}(n)*[x_{2}(n)+x_{3}(n)]=x_{1}(n)*x_{2}(n)+x_{1}(n)*x_{3}(n) $
性质 5：$x(n)*u(n)=\sum_{i=-\infty}^{n}\limits x(n)$
性质 6： $ f_{1}(k-k_{1})*f_{2}(k-k_{2})=f_{1}(k-k_{1}-k_{2})*f_{2}(k) $
例 1：已知$x(n)= \alpha^n u(n) (0< \alpha<1) \quad h(n)=u(n)$, 求卷积$y(n)=x(n)*h(n)$
解：$y(n)=x(n)*h(n)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\limits \alpha^m u(m)u(n-m)$， 考虑$x(n),h(n)$皆为因果序列,$y(n)=(\sum_{m=0}^{n}\limits \alpha^m)u(n)=\dfrac{1-\alpha^{n+1}}{1-\alpha}$
当$n\rightarrow\infty$时，$y(n)=\dfrac{1}{1-\alpha}u(n)$
例 2：求$u(k)*u(k)$
解：$u(k)*u(k)=\sum_{i=-\infty}^{\infty}\limits u(i)u(k-i)=(\sum_{i=0}^{k}\limits 1)u(k)=(k+1)u(k)$
问题：
1．证明性质3-性质6
2．已知$f_{1}(k)=1.5\delta(k+1)+\delta(k)+1.5\delta(k-1)+2\delta(k-2)$, $f_{2}(k)=u(k)-u(k-3)$
试画出$f_{1}(k)$和$f_{2}(k)$的图像，并求出$f_{1}(k)*f_{2}(k)$;并作出$f_{1}(k)*f_{2}(k)$的图像
3．
(1)$f(k)=a^ku(k), h(k)=b^ku(k)$,求$f(k)*h(k)$
(2)求$a^ku(k)*u(k-4)$
(3)求$u(k-3)*u(k-4)$
(4)求$(0.5)^ku(k)*1$
4． 已知$x_{1}(n)=n[u(n)-u(n-6)]$, $x_{2}(n)=u(n+6)-u(n+1)$, 求$y(n)=x_{1}(n)*x_{2}(n)$
答案:
1．略
2．略
3．
(1) $y(k)= \left\{ \begin{array}{rcl} b^k\dfrac{1-\left(\dfrac{a}{b}\right)^{k+1}}{1-\dfrac{a}{b}}u(k),&a\neq b\\ b^k(k+1)u(k),&a=b \end{array} \right. $
(2) $y(k)= \left\{ \begin{array}{rcl} \dfrac{1-a^{k-3}}{1-a}u(k-4),&a\neq 1\\ (k-3)u(k-4),&a=1 \end{array} \right. $
(3) $y (k)= (k-6) u (k-7)$
(4) $y (k)=2$
4． $y (n)=\dfrac{1}{2} (n+6) (n+7)[u (n+6)-u(n)]+15[u (n)-u (n-5)]-\dfrac{1}{2} (n+1) (n+2)[u (n+1)-u (n-5)]$