未来技术学院 2023 级选拔考试（数学）
试卷说明
- 数学选拔考试为先阅读分析一段材料，然后根据材料现场作答，旨在选拔具有数学逻辑分析，推导，缜密论证能力的学生，本词条内容仅用于 考试形式参考；
- 未来技术学院未公开发布试卷内容，本词条内容根据往届学生考场回忆整理，与原试题可能存在偏差；
- 未来技术学院未公开发布试卷标准答案，如需参考答案请浏览往届老生整理的词条：未来技术学院 2023 年选拔考试（数学）参考答案 ；
- 答题时间：90 分钟（含阅读材料时间）
阅读材料
略
试卷题目
一.
设向量$\mathbf{U}=(u_1,u_2)$和$\mathbf{V}=(v_1,v_2)$，$O$为原点，其中$U$，$V$分别为两向量终点，求证：
1.
$$S_{\triangle OUV} = \dfrac{1}{2}\sqrt{(||\mathbf{U}||||\mathbf{V}||)^2-(\mathbf{U}\mathbf{V})^2}$$
2.
$$S_{\triangle OUV} = \dfrac{1}{2}|u_1v_2-u_2v_1|$$
二.
1.
已知数列 $a_k$，$b_k$，有
$$S_k=a_1+a_2+\cdots+a_k$$
证明
$$\displaystyle\sum^n_{k=1}a_kb_k=S_nb_n+\displaystyle\sum^{n-1}_{k=1}S_k(b_k-b_{k+1})$$
2.
用问题 1 结果证明：
$$\displaystyle\sum^n_{k=1}\frac{\cos({kx})}{k}\leqslant \frac{1}{\sin \dfrac{x}{2}}$$
其中$x \in (0,\dfrac{\pi}{2})$
3.
已知数列$a_k$，$b_k$，其中当$k>N$时，$b_k=0$，有
$$S_k=\displaystyle\sum^k_{i=1}a_i$$ $$\Delta b_k = b_{k+1}-b_k$$ $$\Delta ^{(m)} b_k = \Delta ^{(m-1)} b_{k+1}-\Delta ^{(m-1)}b_k$$ $$S_k^{(m)} = \displaystyle\sum^k_{i=1}S_i^{(m-1)}$$
由第 1 题结果证明：
当$N>1$时：
$$\displaystyle\sum^N_{k=1}a_kb_k= (-1)^m\displaystyle\sum^N_{k=1}S^{(m)}_k \Delta ^{(m)} b_k$$
三.
试说明两个周期函数的和是否仍为周期函数，并给出你的证明。