未来技术学院 2020 年选拔考试（数学）参考答案
答案说明
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参考答案
1.
解：
$ (A - B)\cap(C - D)=(A \cap \overline B)\cap(C \cap \overline D) $
$ =A \cap \overline B \cap C \cap \overline D $
$ =A \cap C \cap \overline B \cap \overline D $
$ =(A \cap C) \cap (\overline B \cap \overline D) $
$ =(A \cap C) \cap \overline{(\overline B \cup \overline D)} $
$ =(A \cap C) - (B \cup D) $
2.
证明：
想要证明集合 { $A$ } 与集合 { $B$ } 相等，只需要证明任意属于 { $A$ } 的元素$ x_1 $都属于 { $B$ } ，且任意属于 { $B$ } 的元素$ x_2 $都属于 { $A$ } 即可。
① 设$ x\in \bigcup\limits_{n= 1}^{\infty} (A_n \cap B_n) $，则存在$ j $使得$ x\in A_j \cap B_j $
所以$ x \in A_j$ 且 $x \in B_j $
故$ x \in (\bigcup\limits_{n= 1}^{\infty} A_n) $且$ x \in (\bigcup\limits_{n= 1}^{\infty} B_n) $
因此$ x\in(\bigcup\limits_{n= 1}^{\infty}A_n) \cap(\bigcup\limits_{n= 1}^{\infty}B_n) $
② 设$ x\in(\bigcup\limits_{n= 1}^{\infty}A_n) \cap(\bigcup\limits_{n= 1}^{\infty}B_n) $
故$ x \in (\bigcup\limits_{n= 1}^{\infty} A_n) $且$ x \in (\bigcup\limits_{n= 1}^{\infty} B_n) $
因此存在$ p $使得$x \in A_p $，存在$ q $使得$ x \in B_q $。
由于 { $A$ }、{ $B$ } 都是递增集合列，所以对于任意的$ max(p,q)\leq k $都有$ x \in A_k $且$ x \in B_k $
故$ x\in A_k \cap B_k $
∴ $ x\in \bigcup\limits_{n= 1}^{\infty} (A_n \cap B_n) $得证。
3.
证明：
考虑对称性，只需要证明：
$ [0,1) =\bigcup\limits_{n= 1}^{\infty}[0,1-\dfrac{1}{n}] = \bigcup\limits_{n= 1}^{\infty}[0,1-\dfrac{1}{n}) $
采用第 2 题的思路证明$ [0,1) =\bigcup\limits_{n= 1}^{\infty}[0,1-\dfrac{1}{n}) $
① 若 $ x \in [0,1) $，则有$ x = 1-a (1 >a> 0) $
取$ n > \dfrac {1}{a} $则有$ 0 < 1-a < 1-\dfrac {1}{n} $
即$ x \in [0,1-\dfrac{1}{n}) $
即$ x \in \bigcup\limits_{n= 1}^{\infty}[0,1-\dfrac{1}{n}) $
② 若$ x \in \bigcup\limits_{n= 1}^{\infty}[0,1-\dfrac{1}{n}) $
对于任意满足条件的$ x $一定存在$ k $使得$ x \in [0,1-\dfrac{1}{k}) $
由于$ 1-\dfrac{1}{k} < 1 $
故$ x \in [0,1) $
即$ [0,1)=\bigcup\limits_{n= 1}^{\infty}[0,1-\dfrac{1}{n}) $
同理可完成剩余证明。
4.
证明：
① 对于$ x\in \bigcup\limits_{n= 1}^{\infty} E_n $
显然$ x\in \mathbb{R} $恒成立，对于任意$ n=k $都有以下不等式成立：
$ \sqrt {x^2 +(y-k)^2} < k $
即$ x^2 +(y-k)^2 < k^2 $
∴ $ x^2 +y^2-2ky < 0 $
由于$ k>0 $，故$ y>0 $，所以$ x \in \{(x,y) \mid x\in \mathbb{R} , y > 0 \} $
② 对于$ x \in \{(x,y) \mid x\in \mathbb{R} , y > 0 \} $
取$ n>\dfrac{x^2+y^2}{2y} $
可使得$ \sqrt {x^2 +(y-n)^2} < n $成立
所以$ x\in \bigcup\limits_{n= 1}^{\infty} E_n $得证。
5.
解：
参考《实变函数论》中对于上限集与下限集的定义可知：
$ \overline{\lim\limits_{x\to \infty}} E_n=A\cup B \cup C $
$ \underline{\lim \limits}_{x\to \infty} E_n=A\cap B \cap C $
图片：《实变函数论》中对于上限集与下限集的定义
（图片来源：彭宇阳）