试卷说明

• 数学选拔考试为先阅读分析一段材料，然后根据材料现场作答，旨在选拔具有数学逻辑分析，推导，缜密论证能力的学生，因此阅读材料很可能是从任何一个大学课程或者其他教材中摘取的部分内容，本词条内容仅用于 考试形式参考；
• 未来技术学院未公开发布试卷内容，本词条内容根据往届学生考场回忆整理，暂无阅读材料部分，与原试题可能存在偏差；
• 未来技术学院未公开发布试卷标准答案，参考答案请自行整理；
• 答题时间：90 分钟（含阅读材料时间）

阅读材料

请参考书目：

• 《实变函数论》（周民强著）第一章
• 《实变函数讲义》(或其他实变函数教材均可)

试卷题目

1.

设有集合 $A$、$B$、$C$、$D$，求证：

$(A - B)\cap(C - D)=(A \cap C) - (B \cup D)$.

2.

设{$A_n$}与{$B_n$} 是递增集列，求证：

($\bigcup\limits_{n= 1}^{\infty}A_n$) $\cap$ ($\bigcup\limits_{n= 1}^{\infty}B_n$) = $\bigcup\limits_{n= 1}^{\infty} (A_n \cap B_n)$

3.

求证：

$(-1,1)$ =$\bigcup\limits_{n= 1}^{\infty}[-1+\dfrac{1}{n},1-\dfrac{1}{n}]$ = $\bigcup\limits_{n= 1}^{\infty}(-1+\dfrac{1}{n},1-\dfrac{1}{n})$

4.

设点集列$E_n$ = $\{(x,y) \mid \sqrt {x^2 +(y-n)^2} < n \}$ , 求证：

$\bigcup\limits_{n= 1}^{\infty} E_n$ = $\{(x,y) \mid x\in \mathbb{R} , y > 0 \}$

5.

设{$E_{n}$}为一集列，$E_{3n} = A , E_{3n-1} = B , E_{3n-2} = C$ , 求：

$E_{n}$的上限集$\overline{\lim\limits_{x\to \infty}} E_n$ 和 $E_{n}$的下限集 $\underline{\lim \limits}_{x\to \infty} E_n$

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