试卷说明

• 数学选拔考试为先阅读分析一段材料，然后根据材料现场作答，旨在选拔具有数学逻辑分析，推导，缜密论证能力的学生，本词条内容仅用于 考试形式参考；
• 未来技术学院未公开发布试卷内容，本词条内容根据往届学生考场回忆整理，与原试题可能存在偏差；
• 答题时间：90 分钟（含阅读材料时间）

阅读材料

定义 1： 设$X$是一个集合，它的元素叫做 “点”，如果$X$的任何两个点$p$和$q$对应一个实数$d(p,q)$，则这个$d(p,q)$可以看成是$(p,q)$的一个函数(或映射)，如果函数$d(p,q)$满足下面三个条件，则称其满足性质D:

1. 若$p \neq q$,那么$d(p,q)>0$，$d(p,q)=0$的充分必要条件是$p=q$
2. $d(p,q)=d(q,p)$
3. 对于任意的$x \in X$,$d(p,q)\leq d(p,x)+ d(x,q)$

定义 2： 设$X$是全体实数,$d(p,q)$为定义在$X$上面满足定义1中的性质D的函数，下面提到的一切点和集合，都理解为$X$中的点和集合

1. 点$p$的邻域,指的是满足条件$d(p,q) < r$的一切点$q$构成的集合,这里$r$是实数,并且$r > 0$。通常$p$的邻域记成：$N_r(p)$
2. 点$p$称作集合$E$的内点是指：如果存在点$p$的一个邻域$N_r(p)$完全包含于E,即$N_r(p)$满足$N_r(p) \subset E$
3. 点$p$称作集合$E$的极限点是指：如果点$p$的每个邻域$N_r(p)$都含有一点$q \in E$,而且$q \neq p$
4. 集合$E$称为开集是指:如果$E$的每个点都是内点.
5. 集合$E$称为闭集是指:如果$E$的每个极限点都是$E$中的点.

定义 3： 设$p=(x_1 , x_2 , x_3)$与$q=(y_1 , y_2 , y_3)$是三维空间中两点,其欧式距离定义为 $$\rho(x,y) = \sqrt{(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2 + (x_3 - y_3)^2}$$

试卷题目

一.

设$x$,$y$均为实数，定义函数：

1. $d_{1}(x,y)=(x-y)^2$
2. $d_{2}(x,y)=\lvert x^2-y^2 \rvert$
3. $d_{3}(x,y)=\lvert x-2y \rvert$
4. $d_{4}(x,y)=\lvert x-y \rvert+\lvert y \rvert$
   这四个函数中哪个满足性质D？哪个不满足？并说明理由。

二.

设$X$是全体实数集合，对于$p \in X$、$q \in X$，定义函数

$$ d(p,q) = \begin{cases} 1 & p \neq q \\ 0 & p = q \end{cases} $$

证明$d(p,q)$满足性质D，由此所得的$X$中哪些子集是开集？哪些子集是闭集？

三.

1.

在二维平面里面考虑任意一个圆$C$,对于$x, y \in C$,定义$d(x,y)$是过$x$、$y$两点的圈上以$x$、$y$为端点的劣弧的弧长，证明$d(z,y)$满足性质D，设$\rho(x,y)$为按平面普通两点间距离公式计算的$x$与$y$之间的距离。证明

$$\rho(x,y) \leq d(x,y) \leq \frac{\pi}{2}\rho(x,y)$$

2.

利用上述结论证明三维空间中类似的结论。即

在三维空间里面考虑任意一个球面$S$，对于$x,y \in S$,定义$d(x,y)$是过$x$、$y$两点的大圆上以$x$、$y$为端点的劣弧的弧长。证明$d(x,y)$满足性质D，设$\rho(x,y)$为按三维空间普通两点间欧式距离公式计算的$x$与$y$之问的距离，证明

$$\rho(x,y) \leq d(x,y) \leq \frac{\pi}{2}\rho(x,y)$$

注: 在证明该问题结论时，需要具体计算出相关的$\rho(x,y)$与$d(x,y)$，或者利用平面几何与解析几何知识解答，仅用直观解释不得分。