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未来技术学院 2021 年选拔考试（数学）
作者：幺哥 最后编辑于: 2021-11-03 21:35 浏览量：8,465
试卷说明
- 数学选拔考试为先阅读分析一段材料，然后根据材料现场作答，旨在选拔具有数学逻辑分析，推导，缜密论证能力的学生，本词条内容仅用于 考试形式参考；
- 未来技术学院未公开发布试卷内容，本词条内容根据往届学生考场回忆整理，暂缺阅读材料部分，与原试题可能存在偏差；
- 未来技术学院未公开发布试卷标准答案，如需参考答案请浏览往届老生整理的词条：未来技术学院 2021 年选拔考试（数学）参考答案 ；
- 答题时间：90 分钟（含阅读材料时间）
阅读材料
请参考本科生常见的《复变函数》教材第一章。
试卷题目
1.
写出下列复数的$a+bi$形式：
$$i^n$$
$$(1+\sqrt{3}i)^n$$
2.
证明
$$|z_1+z_2|^2=|z_1|^2+|z_2|^2+2Re(z_1\overline{z_2})$$
并说明其几何意义。
3.
已知：
$$|\dfrac{z-z_1}{z-z_2}|<1, (z_1\neq z_2)$$
求满足条件的所有$z$的集合$E$并作图。
4.
已知实数$r>0$，复数$z=x+yi$，请写出$r^z$的$a+bi$形式。
5.
已知 $z_1,z_2,z_3$ 为三个单位复向量，
证明：
$z_1, z_2, z_3$ 为正三角形的三个顶点是$z_1+z_2+z_3=0$的充要条件。