未来技术学院 2020 级选拔考试（数学）
答题时间：90分钟（含阅读材料时间）
说明：
1.本考试为材料阅读分析，根据材料现场作答
2.本试题为考场回忆，与实际试题可能存在部分偏差，求是学部并未公开试卷。因此暂无阅读材料部分，如有需要请参考以下书目：
《实变函数论》周民强 第一章
《实变函数讲义》(或其他实变函数教材均可)
3.数学选拔考试旨在选拔具有数学逻辑分析，推导，缜密论证能力的同学，因此阅读材料很可能是从任何一个大学课程或者其他教材中摘取的部分，本试题仅供参考考试形式，答案自行搜集
1.设有集合 $A$、$B$、$C$、$D$, 求证：$(A - B)\cap(C - D)=(A \cap C) - (B \cup D) $.
2.设{$A_n$}与{$B_n$} 是递增集列，求证：($\bigcup\limits_{n= 1}^{\infty}A_n$) $\cap$ ($\bigcup\limits_{n= 1}^{\infty}B_n$) = $\bigcup\limits_{n= 1}^{\infty} (A_n \cap B_n) $
3.求证：$(-1,1)$ =$\bigcup\limits_{n= 1}^{\infty}[-1+\dfrac{1}{n},1-\dfrac{1}{n}]$ = $\bigcup\limits_{n= 1}^{\infty}(-1+\dfrac{1}{n},1-\dfrac{1}{n})$
4.设点集列$E_n$ = $\{(x,y) \mid \sqrt {x^2 +(y-n)^2} < n \}$ , 求证：$\bigcup\limits_{n= 1}^{\infty} E_n$ = $\{(x,y) \mid x\in \mathbb{R} , y > 0 \}$
5.设{$E_{n}$}为一集列，$E_{3n} = A , E_{3n-1} = B , E_{3n-2} = C$ , 求：$E_{n}$的上限集$\overline{\lim\limits_{x\to \infty}} E_n$ 和 $E_{n}$的下限集 $\underline{\lim \limits}_{x\to \infty} E_n$