考前须知

• 根据阅读材料,完成后面的 4 道题，每道题建议用时 1 ~ 2 个小时；
• 本试题由往届学长根据 2018 级、2019 级、2020 级求是数学选拔考试试题，及 2020 级求是学部选拔考试（数学部分）的考场回忆编写的样题。节选自某高校数学拔尖计划选拔试题。本题只具有题目形式的参考意义。既不代表最终难度，也不代表实际考试内容，更不代表求是学部，和数学学院。还请谨慎看待这张试题难度，题型以及内容；
• 本试题为大学课程内容随机摘选，若有纰漏请与笔者联系，望周知；
• 试题适用范围：求是学部（未来技术学院），求是数学班（数学拔尖计划）选拔考试；
  不适用范围：化工学院领军计划，王守融班

阅读材料与试卷问题

1.

设$\mathbb{R}$为实数集，$\mathbb{N}$为自然数集，$x$是一个不定元，称形式表达式

$\sum_{i=0}^\infty a_{i} x^i = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^2 + \cdots + a_{n} x^n + \cdots$

为$\mathbb{R}$上的一个形式幂级数，其中$a_{i} \in \mathbb{R} \ (i \in \mathbb{N})$．所有形式幂级数的全体记为$\mathbb{R}[[x]]$，例如当$a_{0}=1$，$a_{1}=2$，$a_{2}= 1$，其他$a_{i}$都为零时的形式幂级数为一个二次多项式$1 + 2x + x^2$ ；当$a_{i}= 1$ 时的形式幂级数为 $1 + x + x^2 + \cdots + x^n + \cdots$ 对任意$f(x) = \sum\limits_{i=0}^\infty a_{i} x^i$，$g(x) = \sum\limits_{i=0}^\infty b_{i} x^i \in \mathbb{R}[[x]]$，定义$\mathbb{R}[[x]]$上的加法和乘法为 $f(x) + g(x) = \sum\limits_{i=0}^\infty (a_{i} + b_{i})x^i \text{，} f(x)g(x) = \sum\limits_{k=0}^\infty c_{k} x^k$ 其中$c_{k} = \sum\limits_{i=0}^{k} a_{i} b_{k-i}$，$k \in \mathbb{N}$。

回答下列问题：

(1) 设$f(x) = \sum\limits_{i=0}^\infty a_{i} x^i \in \mathbb{R}[[x]]$，证明：存在唯一$g(x) \in \mathbb{R}[[x]]$使得$f(x)g(x) = 1$当且仅当$a_{0} \neq 0$，这样的$f(x)$称为可逆的，$g(x)$称为$f(x)$的逆；

(2) 设$q$为非零实数，$a_{i} = q^i$为等比数列，试求$f(x) = \sum\limits_{i=0}^\infty a_{i} x^i$的逆；

(3) 设$a_{0} = a_{1} = 1$，$a_{n} = a_{n-1} + a_{n-2} \ (n\geq2)$，试求$f(x) = \sum\limits_{i=0}^\infty a_{i} x^i$的逆；

(4) 试利用 (2) 与 (3) 的结论，求 (3) 中数列$a_{n}$的通项公式。

2.

设$X$为非空数集，函数$d:X*X\rightarrow R$，当$d$满足下列条件时称$d$是$X$的度量：

(i) ${\forall}x,y\in X, d(x,y)\ge 0$，当且仅当$x=y$时等号成立；

(ii) ${\forall}x,y\in X,d(x,y)=d(y,x)$；

(iii) ${\forall}x,y,z\in X,d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$。

回答下列问题：

(1) 若$X=[0,π),d(x,y)=[sin(x-y)]$，求证：$d$为$X$的度量。

(2) 若$\mathbb{R}^{n}={(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}|x_{i}\in R)},i\in N$，且对$P=(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}) ,Q=(y_{1},y_{2},\cdots,y_{n})\in \mathbb{R}^{n}$，定义$d(P,Q)=\mathop{max}\limits_{1\le i \le n} |x_{i}-y_{i}|$。证明：$d$为$R$的度量。

(3) 求证：任意非空数集都存在度量。

3.

设$f$是定义在整数集$\mathbb{Z}$上的函数。

回答下列问题：

(1) 设对每一个整数$k$都有$|f(k)|\leq2021$，且$f(k)\leq\dfrac{1}{2}\left[f(k-1)+f(k+1)\right]$均成立，证明：$f$恒等于常数。

(2) 如果存在常数$M$，使得对每一个整数 k，均有$f(k)\leq M$，则称$f$有上界，否则就称$f$ 没有上界。假定$f$没有上界，证明：要么存在一列正整数$k_1 < k_2 < \cdots < k_i < \cdots$，使得当$i \geq 1$时，$i < f(k_i) < f(k_{i+1})$总成立；要么存在一列负整数$l_1 > l_2 > \cdots > l_j > \cdots$，使得当$j \geq 1$时，$j < f(l_j) < f(l_{j+1})$总成立。

4.

设$\mathbb{F}$为复数集的子集，含有非零数，且对四则运算封闭，即对任意$a,b\in \mathbb{F}$，有$a+b,a-b,ab \in \mathbb{F}$，且当$b \neq 0$时有$\dfrac{a}{b} \in \mathbb{F}$，称这样的$\mathbb{F}$为数域。

回答下列问题：

(1) 证明：任何数域都包含有理数集$\mathbb{Q}$;

(2) 证明：包含$\sqrt{2}$的最小数域为$\left\{a+b\sqrt{2}|a,b \in \mathbb{Q} \right\}$;

(3) 试求包含$\sqrt{2}+i$的最小数域$\mathbb{F}$，其中$i$为虚数单位，即$i^2=-1$;

(4) 设$\mathbb{F}$为(3)中的数域，试求所有函数$\varphi:\mathbb{F}\xrightarrow{}\mathbb{F}$，满足 $\varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(b),\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b),\forall a,b \in \mathbb{F}$

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