未来技术学院 2025 级选拔考试（数学）参考答案
答案说明
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参考答案
一.
公共条件：设函数 $ f: A \rightarrow B $，且 $ C \subseteq A $，$ D \subseteq B $。
1.1
证明：$ C \subseteq f^{-1}[f(C)] $。
证： 任取 $ x \in C $。由像集定义，$ f(x) \in f(C) $，因此
$$ x \in f^{-1}[f(C)] $$
故
$$ C \subseteq f^{-1}[f(C)] \quad $$
1.2
若 $ f $ 为单射，证明：$ f^{-1}[f(C)] = C $。
证： 由 1.1 已有 $ C \subseteq f^{-1}[f(C)] $。下面证明反向包含。
任取 $ x \in f^{-1}[f(C)] $，则 $ f(x) \in f(C) $。因此存在 $ x' \in C $，使得
$$ f(x) = f(x') $$
由于 $ f $ 为单射，所以 $ x = x' $，从而 $ x \in C $。故
$$ f^{-1}[f(C)] \subseteq C $$
两边结合，得到
$$ f^{-1}[f(C)] = C \quad $$
1.3
证明：$ f[f^{-1}(D)] \subseteq D $。
证： 任取 $ y \in f[f^{-1}(D)] $。由像集定义，存在 $ x \in f^{-1}(D) $，使得
$$ y = f(x) $$
又因为 $ x \in f^{-1}(D) $，所以 $ f(x) \in D $，即 $ y \in D $。故
$$ f[f^{-1}(D)] \subseteq D \quad $$
1.4
若 $ f $ 为满射，证明：$ f[f^{-1}(D)] = D $。
证： 由 1.3 已有 $ f[f^{-1}(D)] \subseteq D $。下面证明反向包含。
任取 $ y \in D $。由于 $ f: A \rightarrow B $ 为满射，存在 $ x \in A $，使得
$$ f(x) = y $$
又因 $ y \in D $，所以 $ x \in f^{-1}(D) $。因此
$$ y = f(x) \in f[f^{-1}(D)] $$
故
$$ D \subseteq f[f^{-1}(D)] $$
两边结合，得到
$$ f[f^{-1}(D)] = D \quad $$
二.
已知 $ A = \{1, 2, 3\} $，$ B = \{a, b, c\} $，函数 $ f: A \rightarrow B $、$ g: B \rightarrow A $ 分别定义为
$$ f = \{(1, a), (2, b), (3, c)\} $$
$$ g = \{(a, 1), (b, 3), (c, 2)\} $$
2.1
求逆关系 $ g^{-1} $。
解： 交换 $ g $ 中有序对的前后位置：
$$ g^{-1} = \{(1, a), (3, b), (2, c)\} $$
2.2
求复合映射 $ f \circ g $。
解： 复合映射从右向左计算，即 $ (f \circ g)(x) = f(g(x)) $：
$$ (f \circ g)(a) = f(g(a)) = f(1) = a $$
$$ (f \circ g)(b) = f(g(b)) = f(3) = c $$
$$ (f \circ g)(c) = f(g(c)) = f(2) = b $$
所以
$$ f \circ g = \{(a, a), (b, c), (c, b)\} $$
2.3
求复合映射 $ f \circ g \circ f $。
解： 同样从最右侧开始计算，即 $ (f \circ g \circ f)(x) = f(g(f(x))) $：
$$ (f \circ g \circ f)(1) = f(g(f(1))) = f(g(a)) = f(1) = a $$
$$ (f \circ g \circ f)(2) = f(g(f(2))) = f(g(b)) = f(3) = c $$
$$ (f \circ g \circ f)(3) = f(g(f(3))) = f(g(c)) = f(2) = b $$
因此
$$ f \circ g \circ f = \{(1, a), (2, c), (3, b)\} $$
三.
设
$$ P_n(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0, \quad a_n \ne 0, \ n \ge 1 $$
证明 $ P_n(x) $ 不是周期函数。
证： 反设 $ P_n $ 存在正周期 $ T > 0 $，即
$$ P_n(x + T) = P_n(x), \quad \forall x \in \mathbb{R} $$
先证明：若可导函数 $ F $ 以 $ T $ 为周期，则 $ F' $ 也以 $ T $ 为周期。由导数定义，
$$ F'(x + T) = \lim_{h \to 0} \frac{F(x + T + h) - F(x + T)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{F(x + h) - F(x)}{h} = F'(x) $$
因此，周期性可以依次传递给各阶导函数。
于是 $ P_n^{(n-1)} $ 也以 $ T $ 为周期。而
$$ P_n^{(n-1)}(x) = n! \, a_n \, x + (n-1)! \, a_{n-1} $$
所以
$$ P_n^{(n-1)}(x + T) - P_n^{(n-1)}(x) = n! \, a_n \, T \ne 0 $$
这与 $ P_n^{(n-1)} $ 的周期性矛盾。因此 $ P_n $ 不存在正周期。
结论： $ n \ge 1 $ 时，非恒定多项式不是周期函数。