1.根据阅读材料,完成后面的五道题.时长共计2个小时.
2.对于阅读材料中的运算,若无特殊说明,均采用乘法运算的符号.

阅读材料

定义1 一个非空集合 $G$ 对于一个运算来说作成一个群, 假如:
(1) 运算是封闭的, 即: 对于任意 $a, b \in G$, 有 $a b \in G$.
(2) 结合律成立: 对于任意 $a, b, c \in G$, 有 $(ab)c=a(b c)$. (3) 存在 $e \in G$, 使得对于任意 $a \in G$, 有 $e a=a e=a$. (4) 对于任意 $a \in G$, 存在 $b \in G$, 使得: $a b=b a=e$. $e$ 称之为群 $G$ 的单位元. $b$ 称为 $a$ 的逆元, 用 $a^{-1}$ 表示 $a$ 的逆元. 若对任意 $a, b \in G$, 有: $a b=b a$, 则称 $G$ 为交换群.

若群 $G$ 中运算是加法运算, 则 $a$ 的逆元用 $-a$ 来表示, 单位元则用 0 来表示.

例2 (1) 整数集合 $\mathbb{Z}$, 实数集合 $\mathbb{R}$ 关于数的加法都是群. $\mathbb{Z}$ 称为整数加法群. (2) 非零实数集合 $\mathbb{R}^{*}$, 正实数集合 $\mathbb{R}^{+}$ 关于实数的乘法都是群.

定义3 如果一个群 $G$ 里的元素的个数是有限的, 则称此群为有限群, 否则称之为无限群.一个有限群中所含元素的个数称为该群的阶, 记为 $|G|$.

群 $G$ 里, 记 $a^{n}=\underbrace{a \cdots a}_{n}$, 表示 $a$ 连乘 $n$ 次.

定义4 对于群 $G$ 里的元 $a$, 使得 $a^{m}=e$ 成立的最小正整数 $m$ 称为 $a$ 的阶, 记为 $|a|=m$. 若这样的正整数不存在, 则称 $a$ 是无限阶的.

例如, 设集合 $G$ 刚好包含 $z^{3}=1$ 的三个复数根: $\left\{1, e^{\frac{2 \pi}{3} i}, e^{\frac{4 \pi}{3} i}\right\} . G$ 对于普通乘 法来说作成群. 元素 1 的阶是 1, 其余两个元素的阶是 3 .

加法群 $G$ 中的元素 $a$ 的阶定义为使得 $m a=0$ 成立的最小的正整数 $m$, 其中 $m a=\underbrace{a+\cdots+a}_{m}$ 表示 $m$ 个 $a$ 连加. 由此易得 $\mathbb{Z}$ 中任意非零整数都是无限阶的.

群 $G$ 中只有单位元 $e$ 的阶是 1, 且任一元 $a$ 的阶与其逆元 $a^{-1}$ 的阶相同. 规 定: $a^{0}=e, a^{-n}=\left(a^{-1}\right)^{n}=\left(a^{n}\right)^{-1}, n$ 是正整数. 由此 $a^{n} a^{m}=a^{n+m},\left(a^{n}\right)^{m}=a^{n m}$对于任意整数 $m, n$ 都成立.

命题5 设群 $G$ 里元素 $a$ 的阶为 $k$, 若 $a^{n}=e$, 则必有 $k \mid n$, 即 $k$ 整除 $n $.
证明 由阶的定义, 必有 $k \leqslant n$, 则有 $n=s k+r$, 满足: $0 \leqslant r \leqslant k-1 .$ 另外 $$ e=a^{n}=a^{s k} a^{r}=\left(a^{k}\right)^{s} a^{r}=e^{s} a^{r}=a^{r} . $$ 而 $|a|=k$, 且 $0 \leqslant r \leqslant k-1$, 则只能有 $r=0$, 于是 $n=s k, k \mid n$.

定义6 群 $G$ 的非空子集 $H$ 称做 $G$ 的子群, 假如 $H$ 对于 $G$ 的运算作成一个群.

例7 (1) 群 $G$ 中, 由单位元 $e$ 组成的子集 $\{e\}$ 和 $G$ 本身显然是 $G$ 的子群. (2) 正实数集 $\mathbb{R}^{+}$ 是乘法群 $\mathbb{R}^{*}($ 非零实数集 $)$ 的子群.

定理8 设 $H$ 是群 $G$ 的非空子集, 则 $H$ 是 $G$ 的子群, 当且仅当对于任意 $a, b \in H$, 有 $a b^{-1} \in H$.

由此定理可得, 子群 $H$ 的单位元就是群 $G$ 的单位元. $H$ 中元素 $a$ 的逆元就是 $a$ 在 $G$ 里的逆元.

若群 $G$ 的中运算是加法运算, 则 $G$ 的非空子集 $H$ 是子群, 当且仅当对于任意 $a, b \in H$, 有 $a+(-b)=a-b \in H$.

定义9 若群 $G$ 的每一个元都是 $G$ 中某一固定元 $a$ 的乘方 $a^{m}$, 我们就称 $G$ 为循环群. 也称 $G$ 是由 $a$ 生成的, 且用符号 $G=\langle a\rangle$ 表示, $a$ 称为 $G$ 的一个生成元.

例10 整数加群 $\mathbb{Z}$ 中, 对于任一正整数 $m$, 有“乘方”表示: $$ \begin{aligned} m&=1+1+\cdots+1=m \times 1 ,\\ -m&=-(m \times 1)=(-m) \times 1. \end{aligned} $$ 这样 $\mathbb{Z}$ 中不等于零的整数都是 1 的倍数. 0 是 $\mathbb{Z}$ 的单位元, 且有: $0=0 \times 1$. 即 1 是 $\mathbb{Z}$ 的生成元, $\mathbb{Z}=\langle 1\rangle$ 是 (加法) 循环群.

定义11 一个 $A \times A$ 到 $D=\{$ 对, 错 $\}$ 的映射 $R$ 称作 $A$ 的元素之间的一个关系.

若 $R(a, b)=$ 对, 称 $a$ 与 $b$ 符合关系 $R$. 记 $a R b$.

若 $R(a, b)=$ 错, 称 $a$ 与 $b$ 不符合关系 $R$. 记 $a \not R b$.

等价的说法: 如果有一种性质 $R$, 使集合 $A$ 中任两个元 $a, b$, 或者有性质 $R$, 或 者没有性质 $R$, 二者必居且仅居其一. 我们就说 $R$ 给定了 $A$ 中的一个关系. 例如, 用 $R$ 表示整数集 $\mathbb{Z}$ 中的小于等于$"\leq"$关系, 则有 $3 R 5,3 R 3,5\not R 3$.

定义12 集合 $A$ 的元素间的一个关系 $\sim$ 称作是一个等价关系, 若 $\sim$ 满足:

• 反身性: 对任意 $a \in A$, 有 $a \sim a .$
• 对称性: 对任意 $a, b \in A$, 若 $a \sim b$, 则 $b \sim a$.
• 传递性: 对任意 $a, b, c \in A$, 若 $a \sim b, b \sim c$, 则 $a \sim c$.

例如, 实数集合 $\mathbb{R}$ 中相等 “=”关系就是等价关系.

给了集合 $A$ 的元素间的一个等价关系, 就决定了集合 $A$ 的一个分类. 即可将 $A$ 分解成一些彼此不相交的非空子集 (称之为等价类) 的并集, 使得 $A$ 的每一个元 素 $a$ 属于且仅属于一个等价类 $[a]$, 其中 $$ [a]=\{x \in A \mid x \sim a\} . $$ 两个等价类相等 $[a]=[b]$, 当且仅当 $a \sim b$.
例 13~在整数集 $\mathbb{Z}$ 中取定一正整数 $n$, 规定关系 $\sim$ : $$ a \sim b \Leftrightarrow n \mid a-b . $$ 可验证 $\sim$ 是一个等价关系. 由此等价关系决定的 $\mathbb{Z}$ 的每一等价类称作模$n$的剩余类. 共有如下$n$个彼此不相交的剩余类: $$\begin{aligned} \left[0\right] &=\{\cdots,-2 n,-n, 0, n, 2 n, \cdots\}, \\ \left[1\right] &=\{\cdots,-2 n+1,-n+1,1, n+1,2 n+1, \cdots\}, \\ & \cdots \\ \left[n-1\right] &=\{\cdots,-n-1,-1, n-1,2 n-1,3 n-1, \cdots\} . \end{aligned} $$ 模$n$的剩余类集合 $$ \mathbb{Z}_{n}=\{[0],[1], \cdots,[n-1]\}, $$
对于加法运算: $[a]+[b]=[a+b]$ 构成循环群. $[0]$ 是单位元,$[a]$ 的逆元是 $[n-a]$.
证明 先证运算 $[a]+[b]=[a+b]$ 有意义. 即若 $\left[a^{\prime}\right]=[a],\left[b^{\prime}\right]=[b]$, 需证 $\left[a^{\prime}+b^{\prime}\right]=$ $[a+b]$. 因为 $\left[a^{\prime}\right]=[a],\left[b^{\prime}\right]=[b]$, 则 $a^{\prime} \sim a, b^{\prime} \sim b$, 即: $n\left|a^{\prime}-a, n\right| b^{\prime}-b$. 于是 $n \mid a^{\prime}-a+b^{\prime}-b$. 即: $n \mid\left(a^{\prime}+b^{\prime}\right)-(a+b)$. 于是有: $\left[a^{\prime}+b^{\prime}\right]=[a+b]$.

(1) 显然上述加法运算封闭.

(2) $[a]+([b]+[c])=[a+b+c]=([a]+[b])+[c]$, 结合律成立.

(3) $[0]+[a]=[a]=[a]+[0]$, 有单位元 $[0] $.($[1]$不是 $\mathbb{Z}_{n}$ 中加法运算的单位元 ).

(4) $[n-a]+[a]=[n]=[0]=[a]+[n-a]$, 有逆元. \并且对任意 $[a] \in \mathbb{Z}_{n}$, 有 $[a]=[\underbrace{1+\cdots+1}_{a}]=a[1]$, 因此 $\mathbb{Z}_{n}=\langle[1]\rangle$ 是循环群.

在 $\mathbb{Z}_{n}$ 中, 因为 $n[1]=[n]=[0]$, 并且不存在比 $n$ 小的正整数 $k$, 使得 $k[1]=$ $[k]=[0]$. 故 $\mathbb{Z}_{n}$ 的生成元 $[1]$ 的阶为 $n$, 等于 $\mathbb{Z}_{n}$ 的阶.

测试题(每题20分,满分100分)

一. 证明: 群 $G$ 里单位元 $e$ 唯一, 任意元素 $a$ 的逆元 $a^{-1}$ 唯一.

二. 2 阶实矩阵定义为两行两列的矩形数表, 形如: $\left[\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right]$, 其中 $a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22}$
都是实数. 定义两个 2 阶矩阵的乘积为: $$ \left[\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} a_{11} b_{11}+a_{12} b_{21} & a_{11} b_{12}+a_{12} b_{22} \\ a_{21} b_{11}+a_{22} b_{21} & a_{21} b_{12}+a_{22} b_{22} \end{array}\right]. $$
证明: 集合 $A=\left\{\left.\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta\end{array}\right] \right| 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi\right\}$ 关于如上定义的乘法是交换群.

三.

1. 证明: 有限群 $G$ 中任意元素的阶都有限.

2. 若群 $G$ 中, 任一元素的阶都是有限的, 问: $G$ 是不是有限群? 若是请证明, 若否, 请说明理由.

四. 证明：整数加法群 $\mathbb{Z}$ 的任意子群 $H$ 都具有如下形式: $$ H=\{m n \mid n \in \mathbb{Z}\} \stackrel{\text { 记作 }}{=} m \mathbb{Z}, m \in \mathbb{Z}, m \geqslant 0 . $$ 即 $H$ 是某非负整数 $m$ 的所有整数倍数构成的集合.

五.

1. 设 $1 < a < n, a \in \mathbb{Z}$, 且 $a$ 与 $n$ 互素, 证明: 在 $\mathbb{Z}_{n}$ 中, 元素 $[a]$ 的阶为 $n$.

2. 循环群 $\mathbb{Z}_{5}$ 中的生成元唯一吗? 请论述理由.

参考答案

一, 证明： 设 $e, e^{\prime}$ 都是群 $G$ 的单位元, 则 $e=e e^{\prime}=e^{\prime}$, 即单位元唯一 .

设 $a^{-1}$ 和 $a^{\prime}$ 都是 $a$ 的逆元, 则 $a^{-1} a=a a^{-1}=e=a a^{\prime}=a^{\prime} a .$ 于是 $a^{-1}=$ $a^{-1} e=a^{-1}\left(a a^{\prime}\right)=\left(a^{-1} a\right) a^{\prime}=e a^{\prime}=a^{\prime}$, 即逆元唯一.

二, 验证群定义的四条性质即可.

三,

1. 证明： 反证. 若存在某个元素的阶无限, 比如 $a$ 的阶为无穷大, 则根据群 中乘法运算的封闭性, 将有: $a, a^{2}, \cdots, a^{n}, \cdots \in G$, 且这些元素彼此不等. 则这与 $G$ 为有限群矛盾. 故有限群的里的任意元的阶都有限.

2. 取 $G=\left\{e^{i a \pi} \mid a \in \mathbb{Q}\right\}$, 以复数的乘法作成群. 但 $G$ 不是有限群. 有理数 $a=\frac{q}{p}$, 则任一元 $e^{i a \pi}$ 的阶都是有限的 $(\leqslant 2 p)$.

四, 证明： 设 $H$ 是 $\mathbb{Z}$ 的子群, 则 $0 \in H$ 不空. 不妨设 $H$ 中含有非零整数. 令 $m$ 为 $H$ 中的最小正整数. 对任意 $t \in H, t=m p+r, 0 \leqslant r \leqslant m-1$, 则: $r=t-m p \in H$ 且 $0 \leqslant r \leqslant m-1$. 要保证 $m$ 是 $H$ 中的最小正整数, 只能有 $r=0$. 即: $t=m p$. 因 此 $H=m \mathbb{Z}$.

五, 证明：

1. 设 $[a]$ 的阶为 $k$. 由 $n[a]=n a[1]=a[n]=a[0]=[0] \Rightarrow k \mid n$. 另外, $[0]=k[a]=k a[1] .$ 在 $\mathbb{Z}_{n}$ 中, $[1]$ 的阶为 $n$, 则 $n \mid k a .$ 但 $n$ 与 $a$ 互素, 于是 只能有 $n \mid k$, 因此 $k=n$.

2. 生成元不唯一. $\mathbb{Z}_{5}=\langle[1]\rangle=\langle[2]\rangle=\langle[3]\rangle=\langle[4]\rangle$.

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